1.1.1 线性空间的概念#

定义#

IMPORTANT

  设 $F$ 是一个数域，$V$ 是一个非空集合，且满足：

1. $\forall \alpha, \beta \in V$，定义加法运算（$+$）有：

   $$\alpha + \beta \in V$$

   即，对加法运算封闭；

2. $\forall \alpha \in V, k \in F$，定义数乘运算（$\cdot$）有：

   $$k \cdot \alpha \in V$$

   即，对数乘运算封闭。

其中加法和数乘运算需满足：

• 加法运算需满足：
  1. 交换律
  $$\begin{gather*} \forall \alpha, \beta \in V, \\ \alpha + \beta = \beta + \alpha \end{gather*}$$
  2. 结合律
  $$\begin{gather*} \forall \alpha, \beta, \gamma \in V, \\ (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma) \end{gather*}$$
  3. 存在零元
  $$\begin{gather*} \exist \textbf{0} \in V, \forall \alpha \in V, \\ \alpha + \textbf{0} = \alpha \end{gather*}$$

  CAUTION

    零元 $\textbf{0}$ 不一定是自然数 0.

  4. 存在负元
  $$\begin{gather*} \forall \alpha \in V, \exist \beta \in V, \\ \alpha + \beta = \textbf{0} \\ \beta = -\alpha \end{gather*}$$

  CAUTION

    此处 $\alpha + \beta = \textbf{0}$ 同样是零元 $\textbf{0}$，而非自然数 0.

• 数乘运算需满足：
  1. 分配律（一）
  $$\begin{gather*} \forall \alpha, \beta \in V, \forall k \in F, \\ k\cdot (\alpha + \beta) = k\cdot \alpha + k\cdot \beta \end{gather*}$$
  2. 分配律（二）
  $$\begin{gather*} \forall \alpha \in V, \forall k,l \in F, \\ (k + l)\cdot \alpha = k \cdot \alpha + l\cdot \alpha \end{gather*}$$
  3. 结合律
  $$\begin{gather*} \forall \alpha \in V, \forall k,l \in F, \\ (kl)\cdot \alpha = k \cdot (l\cdot \alpha) \end{gather*}$$
  4. 存在单位元
  $$\begin{gather*} \exist \textbf{1} \in F, \forall \alpha \in V, \\ \textbf{1} \cdot \alpha = \alpha \end{gather*}$$

  满足以上性质的 $(V, F, +, \cdot)$ 称为数域 $F$ 上的线性空间或向量空间。简记为 $V$ 或 $V(F)$，其中，$V$ 是线性空间，而 $V$ 中的元素称为向量。

TIP

判断某个集合是否构成线性空间的步骤：

1. 判断该集合是否为非空集合；
2. 判断该集合对加法和数乘运算是否封闭；
3. 验证其加法和数乘运算是否满足上诉八条性质；
4. 若均满足，则该集合构成线性空间；否则不构成。

  不难验证，$V(\mathbb{R})$、$V(\mathbb{C})$ 均构成线性空间，分别称实线性空间和复线性空间。

1. 数值向量空间#

IMPORTANT

  给定数域 $F$ 和正整数 $n$，可以构造线性空间 $(F^n, F, +, \cdot)$，称为数值向量空间，其中 $+,\cdot$ 分别表示向量加法和数乘运算.

  已知 $F$ 是数域，则 $F^n$ 为非空集合。下面证明 $F^n$ 对加法和数乘运算封闭：对 $\forall \alpha, \beta \in F^n$，其中，

由于数域 $F$ 对加法封闭，且 $\forall \alpha_i, \beta_i \in F$， 则 $\alpha_i + \beta_i \in F$。于是，

即，$F^n$ 对加法运算封闭；同理可证，$F^n$ 对数乘运算封闭。

  此外需要验证 $F^n$ 在加法和数乘运算满足八大性质。由于 $F$ 是数域，根据数域自身的运算性质，不难验证 $F^n$ 在标准运算下能够满足上诉条件，这里不再赘述。因此 $F^n$ 是在数域 $F$ 上的线性空间。

NOTE

$(\mathbb{C}^n, \mathbb{R}, +, \cdot)$ 构成线性空间，而 $(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}, +, \cdot)$ 不构成线性空间。

  前者不难验证，对于后者，考虑数乘运算不封闭。

  取 $\alpha \in \mathbb{R}^n, \beta \in \mathbb{C}$，其中，

$$\begin{gather*} \alpha = \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}, i \in \{1, 2, .., n\}, \alpha_i \in \mathbb{R}, \alpha_i \not\equiv 0 \\ \beta = a + b\hat{i}, \quad a,b \in \mathbb{R}, b \ne 0 \end{gather*}$$

则有，

$$\begin{gather*} \beta \cdot \alpha = (a + b\hat{i}) \cdot \begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} (a + b\hat{i}) \cdot \alpha_1 \\ (a + b\hat{i}) \cdot \alpha_2 \\ \vdots \\ (a + b\hat{i}) \cdot \alpha_n \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \\ \vdots \\ C_n \end{bmatrix} \end{gather*}$$

其中，由于 $b \ne 0, \alpha_i \not\equiv 0$，故 $\exist j \in \{1, 2, .., n\}, \alpha_j \ne 0$，于是，

$$C_j = (a + b\hat{i}) \cdot \alpha_j \not\in \mathbb{R}$$

故 $\beta \cdot \alpha \notin \mathbb{R}^n$。即，$(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}, +, \cdot)$ 对数乘运算不封闭，不构成线性空间。

TIP

  若不作特殊说明，$(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}, +, \cdot)$ 简写为 $\mathbb{R}^n$，$(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}, +, \cdot)$ 简写为 $\mathbb{C}^n$。此外，由上可知，$\mathbb{R}^n$ 在数域 $\mathbb{R}$ 上构成线性空间，而 $\mathbb{C}^n$ 在数域 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ 均构成线性空间。

2. 数值矩阵空间#

IMPORTANT

  给定数域 $F$ 和正整数 $m,n$，可以构造线性空间 $(F^{m+n}, F, +, \cdot)$，其中 $+,\cdot$ 分别表示矩阵的加法和数乘运算.

   $F^{m+n}$ 关于加法和数乘运算的封闭性很容易证明，同样 $F^{m+n}$ 基于数域 $F$ 的运算性质可以满足加法和数乘运算的八大条件。

NOTE

$(\mathbb{C}^{m+n}, \mathbb{R}, +, \cdot)$ 构成线性空间，而 $(\mathbb{R}^{m+n}, \mathbb{C}, +, \cdot)$ 不构成.

  前者不难证明，对于后者，证明思路与 $(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}, +, \cdot)$ 的证明类似——证明数乘运算不封闭，这里不再赘述。

3. 实系数多项式空间#

IMPORTANT

  定义：

$$P_n(t) = \{\text{次数不超过}\ n \ \text{的实系数多项式}\}$$

  则给定正整数 $n$ 与实数域 $\mathbb{R}$，可以构造线性空间 $(P_n(t), \mathbb{R}, +, \cdot)$，其中，$+,\cdot$ 分别表示多项式加法和实数与多项式数乘.

NOTE

给定正实数 $\mathbb{R}_+ = \{t \in \mathbb{R} | t > 0\}$，$+,\cdot$ 分别表示实数的加法与数乘运算，证明 $(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}, +, \cdot)$ 不构成线性空间.

证明：

  $\forall \alpha \in \mathbb{R}_+$，$\exist \beta \in \mathbb{R} < 0$，则 $\beta \cdot \alpha < 0 \not\in \mathbb{R}_+$，即 $\mathbb{R}_+$ 对数乘运算不封闭，$(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}, +, \cdot)$ 不构成线性空间。

若定义新的加法（$\oplus$）和数乘（$\circ$）运算：

$$\begin{align*} & \oplus: \forall \alpha,\beta \in V, \alpha \oplus \beta = \alpha \beta \\ & \circ: \forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \forall k \in \mathbb{R}, k \circ \alpha = \alpha^k \end{align*}$$

证明 $(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}, \oplus, \circ)$ 构成线性空间.

证明：

  首先证明 $\mathbb{R}_+$ 对 $\oplus$ 运算封闭。$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}_+$，则 $\alpha \oplus \beta = \alpha \beta > 0 \in \mathbb{R}_+$，得证；再证 $\mathbb{R}_+$ 对 $\circ$ 运算封闭。$\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \forall \beta \in \mathbb{R}$，则 $\beta \circ \alpha = \alpha^{\beta} > 0 \in \mathbb{R}_+$，得证。

  接下来验证 $\oplus$ 与 $\circ$ 运算是否满足线性空间八大性质。

  对 $\oplus$ 运算：

1. 交换律：$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}_+$ 有 $\alpha \oplus \beta = \alpha \beta = \beta \alpha = \beta \oplus \alpha$，显然，$\oplus$ 满足交换律；
2. 结合律：$\forall \alpha, \beta \gamma \in \mathbb{R}_+$ 有 $$(\alpha \oplus \beta) \oplus \gamma = (\alpha \beta) \oplus \gamma = (\alpha \beta) \gamma = \alpha (\beta \gamma) = \alpha (\beta \oplus \gamma) = \alpha \oplus (\beta \oplus \gamma)$$ 显然，$\oplus$ 满足结合律；
3. 存在零元 $\textbf{0}$：设存在零元 $\beta = \textbf{0}$，则有 $\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \alpha + \beta = \alpha \beta = \alpha \textbf{0} = \alpha$，于是 $\beta = \textbf{0} = 1$；
4. 存在负元：设存在负元 $\beta$，则有 $\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \alpha + \beta = \alpha \beta = \textbf{0} = 1$，于是 $\beta = \alpha^{-1}$.

  对于 $\circ$ 运算：

1. 分配律（一）：$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}_+, \forall k \in \mathbb{R}$，则有： $$k \circ (\alpha \oplus \beta) = k \circ (\alpha \beta) = (\alpha \beta)^k = \alpha^k \beta^k = (k \circ \alpha)(k \circ \beta) = k \circ \alpha \oplus k \circ \beta$$ 显然，$circ$ 运算满足分配律（一）；
2. 分配律（二）：$\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \forall k, l \in \mathbb{R}$，则有： $$(k + l)\circ \alpha = (kl)\circ \alpha = \alpha^{kl} = \alpha^k \alpha^l = (k \circ \alpha)(l \circ \alpha) = k \circ \alpha + l \circ \alpha$$ 显然，$circ$ 运算满足分配律（二）；

   WARNING

   注意，这里 $k,l$ 之间并不适用 $\oplus$ 运算。

3. 结合律：$\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \forall k, l \in \mathbb{R}$，则有： $$(kl)\circ \alpha = \alpha^{kl} = (\alpha^l)^k = k(l \circ \alpha)$$ 显然，$circ$ 运算满足结合律；

   WARNING

   注意，这里 $k,l$ 之间并不适用 $\circ$ 运算。

4. 存在单位元：设 $\exist \textbf{1} = \beta \in \mathbb{R}$，则有 $\forall \alpha \in \mathbb{R}_+, \textbf{1} \circ \alpha = \beta \circ \alpha = \alpha^{\beta} = \alpha$，则 $\textbf{1} = \beta = 1$。显然，$circ$ 运算存在单位元。

综上可证，在新的加法（$\oplus$）和数乘（$\circ$）运算下，$(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}, \oplus, \circ)$ 构成线性空间。

4. 矩阵的零空间与值空间#

IMPORTANT

  给定数域 $F$，已知矩阵 $A \in F^{m \times n}, b \in F^m$，定义：

$$\begin{align*} \mathscr{N}(A) = \{x \in F^n: Ax = b\} \\ \mathscr{R}(A) = \{y = Ax: x \in F^n\} \end{align*}$$

按照向量加法和数乘运算，讨论 $(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot)$ 与 $(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot)$ 是否构成线性空间。

  对于 $(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot)$，分两种情况讨论：

1. 当 $b \not = 0$ 时，$\forall \alpha,\beta \in \mathscr{N}(A)$，则有： $$\begin{align*} A\alpha = b \\ A\beta = b \end{align*}$$ 于是验证其对加法运算的封闭性。由于 $A\alpha + A\beta = A(\alpha + \beta) = 2b$，而 $b \not = 0$，可知 $\alpha + \beta \not \in \mathscr{N}(A)$，故 $(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot)$ 对加法不封闭，不构成线性空间；
2. 当 $b = 0$ 时，不难验证，$\mathscr{N}(A)$ 对加法运算是封闭的，同样不难验证对数乘运算封闭及线性空间八大性质，此时 $(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot)$ 构成线性空间。

  对于 $(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot)$，首先验证其对加法运算是否封闭，$\forall \alpha, \beta \in \mathscr{R}(A)$，则有：

$$\begin{align*} \alpha = Ax_{\alpha} \\ \beta = Ax_{\beta} \end{align*}$$

于是，$\alpha + \beta = A(x_{\alpha} + x_{\beta})$，而 $x_{\alpha} + x_{\beta} \in F_n$，于是 $\alpha + \beta \in \mathscr{R}(A)$。故 $(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot)$ 对加法运算封闭；再验证是否对数乘运算封闭，$\forall \alpha \in \mathscr{R}(A), \forall k \in F$，于是：

$$\begin{align*} k \alpha =k (Ax_{\alpha}) = A(k x_{\alpha}) \end{align*}$$

而，$k x_{\alpha} \in F^n$，于是 $k\alpha \in \mathscr{R}(A)$。因此$(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot)$ 对数乘运算封闭。对八大性质的讨论就不展开了，可以证明的是 $(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot)$ 构成线性空间。

TIP

$b = 0$ 时，$(\mathscr{N}(A), F, +, \cdot)$ 构成线性空间，称 $\mathscr{N}(A)$ 是矩阵 $A$ 在数域 $F$ 上的零空间；$(\mathscr{R}(A), F, +, \cdot)$ 构成线性空间，称 $\mathscr{R}(A)$ 是矩阵 $A$ 在数域 $F$ 上的值空间

5. 三维欧氏空间中的平面与直线#

IMPORTANT

  三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 中任意平面 $\pi$ 与直线 $l$ ，按照 $\mathbb{R}$ 中向量加法与数乘运算，则当且仅当平面 $\pi$ 与直线 $l$ 经过原点时，$(\pi, \mathbb{R}, +, \cdot)$ 与 $(l, \mathbb{R}, +, \cdot)$ 才构成线性空间。

  这里只证明当平面 $\pi$ 与直线 $l$ 不经过原点时，$(\pi, \mathbb{R}, +, \cdot)$ 与 $(l, \mathbb{R}, +, \cdot)$ 不构成线性空间。

证明：

  设平面 $\pi: \alpha x + \beta y + \gamma z = d, d \not = 0$。对 $\forall m(x_1, y_1, z_1) \in \pi$，有:

由线性空间八大性质要求，对于加法运算存在零元 $\textbf{0}$，不妨设 $\textbf{0} = (x_0, y_0, z_0)$，于是由 $m + \textbf{0} = m$ 有：

于是，$\textbf{0} = (x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$。而，

即，$\textbf{0} \not \in \pi$，平面 $\pi$ 不存在零元，故不构成线性空间。

  对于直线 $l$ 的证明思路类似，这里不再讨论。

TIP

证明一个集合不构成线性空间往往可以从证明是否存在零元、负元和单位元入手。

NOTE

  设 $\pi_1, \pi_2$ 是三维欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 的两个任意平面，则 $\pi_1 \cup \pi_2$ 不构成线性空间，$\pi_1 \cap \pi_2$ 构成线性空间，这里不作证明.